30 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Во всех случаях вероятность выздоровления 99%

Ответ: а) 0,0104; б) 0,625

190. Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Ответ:а) 0,2916; б)0,9477

191. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках не­зависимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабоче­го потребует какой-либо станок из четырех, обслуживаемых им.

Ответ0,1536

192. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется их десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Ответ:0,9298

193.Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

Ответ:от 191 до 197

194.Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений события А в 120 испытаниях равно 32?

Ответ:

195.Какое минимальное число опытов достаточно провес­ти, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем а(0

Записать закон распределения слу­чайной величины X.

Ответ:

X
P1/325/3210/3210/325/321/32

203. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб
выпадет ровно 3 раза?

Ответ:15/128

204.Найдите вероятность того что среди взятых наугад пяти деталей

две стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0,9.

Ответ:0,081

205. Чему равно наивероятнейшее число нестандартных среди 500 де­
талей, если вероятность для каждой из них быть нестандартной равна
0,035?

Ответ:17

206.Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-
го размера, равна 0,25. Найдите вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.

Ответ: 0,466

207.Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 %
случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся 4?

Ответ:0,74

208.Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет
40 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в слу­чайно отобранной партии из 120изделий?

Ответ:48

209.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна0,7.
Найдите вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов.

Ответ:0,267

210.Найти дисперсию дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Ответ:a

211. Производятся независимые испытания, в каждом из ко­торых событие А может появиться с вероятностью 0,002. Какова ве­роятность того, что при 1000 испытаниях событие А появится 5 раз?

Ответ:0,0361

212. Вероятность изготовления детали 0,004.Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Ответ:0,1562

213. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0,002. Найти ве­роятность того, что в течение 1 мин. обрыв произойдет более чем на трех веретенах.

Ответ:0,1428

214.Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Ве­роятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность а) отказа двух элементов; б) отказа не менее двух элементов за год?

Ответ:а)0,1831; б) 0,2642

215.Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01.

Найти вероятности следующих событий: а) в течении часа 5 абонентов позвонят на станцию ; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию ; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию .

Ответ: а) 0,1563, б) 0,6289, в) 0,7619

216.Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что при 100 испытаниях событие А появится а) 1 раз; б) 3 раза ; в) 5 раз ; г) не появится ни разу.

Ответ: а)0,3679; б) 0,1839; г) 0,0613; в) 0,0153; г) 0,0005.

217.На факультете обучается 500 студентов. Какова веро­ятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для а) одного б) двух в) трех г) ни одного студента данного факультета.

Ответ: а)0,3481; б) 0,2385; в) 0,1089; г) 0,2541;

218.При введении вакцины против полиомиелита иммуни­тет создается в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеет а)1; б) 2; в) 3; г) 4 ребенка?

Ответ:а)0,3679; б)0,1839; в)0,0613; г)0,0153.

219. Производятся независимые испытания, в каждом из которых со­
бытие А может появиться с вероятностью 0,0015. Какова вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится 3 раза?

Ответ:0,2242.

220. Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей
имеются 4 дефектных. Найдите вероятность того, что среди 50 наугад
взятых деталей нет дефектных.

Ответ: 0,8187

221. Завод отправил на базу 5000 качественных изделий. Вероятность
повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность
того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия;

б) ровно одно изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.

Ответ:а)0,06313; 6)0,367879; в) 0,981011; г) 0,018989.

222. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найди­
те вероятность того, что магазин получит: а) хотя бы одну; б) менее 2;
в) ровно 2; г) более 2 разбитых бутылок.

Ответ: а) 0,95; 6)0,1992; в) 0,224; г) 0,577.

223. Независимые случайные величины X, У, Z распределены по закону
Пуассона соответственно с параметрами а= 1, b = 2, с = 3.

Найдите за­кон распределения их суммы.

Ответ:

224.Независимые случайные величины X, Y, Z распределены по закону
Пуассона, причем М(Х) = a, M(Y) = b, М(Z) = с. Найдите закон распределения их суммы и М(Х + Y+Z).

Ответ:

225. Независимые случайные величины Хк = 1,2. т) распределе­ны по закону Пуассона, причем М(Хк) = ак. Запишите закон распреде­ления их суммы.

Ответ:

226.Вероятность того, что электролампочка, изготовленная дан­ным заводом, является бракованной, равна 0,02. Дня контроля отобрано нау­гад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Ответ:0,9576

227.Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти ве­роятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заклю­чено между 790 и 830.

Ответ:0,9736

228.Производство дает 1 % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?

Ответ:0,9651

229.Вероятность изготовления детали первого сорта на дан­ном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.

Ответ:0,04565

230. Вероятность появления события в каждом из 100 неза­висимых испытаний постоянна и равна0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 70 и не более 85 раз; б) не менее 70 раз; в) не более 69 раз.

Ответ:а) 0,8882; б) 0,9938; в)0,0062.

231. Вероятность появления события в каждом из 900 неза­висимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относитель­ная частота появления события отклонится от его вероятности по моду­лю не больше чем на 0,02.

Ответ:0,7698.

232. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 про­растания для каждого семени. Найти границу модуля отклонения часто­ты взошедших семян от вероятности р = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью Р = 0,995.

Ответ :0,0034

233. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частоты изделий первого сорта в них от вероятности р = 0,85 по модулю не превосходило 0,01 ?

Ответ:11171

234. Вероятность появления положительного результата в каждом из п опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, что­бы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат.

Ответ:180.

235.Игральный кубик подбрасывают 80 раз. Найти с веро­ятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число т выпадений шестерки

Ответ:5 ≤ т ≤ 22.

236. Обследуются 500 изделий продукции, изготовленной на предприятии, где брак составляет 2%. Найти вероятности того, что
а) среди них окажется ровно 10 бракованных;

б) число бракованных в пределах от 10 до 20.

Ответ:а) 0,127; б) 0,499.

237.Оценить вероятность события

Ответ:0,354

238. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном стан­ке равна 0,4. Найдите вероятность того, что среди наудачу взятых 26
деталей половина окажется высшего сорта.

Читать еще:  Высыпания при циррозе печени

Ответ:0,093

239. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления со­
бытия в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в
отдельном испытании равна 0,5?

Ответ:55

240. Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятность то­го, что число очков, кратное трем, выпадает не меньше 260 и не больше
274 раз?

Ответ:0,4

241. Вероятность появления события А в опыте равна 0,2. Опыт повторили
независимым образом 400 раз. Какова вероятность того, что при этом событие А произойдет а) 70 раз; б) 80 раз; в) не менее 70, но не более 90 раз;

г) не менее 76, но не более 82 раз; д) не менее 78 раз; е) не более 78 раз?

Ответ:а) 0,023; б) 0,05; в) 0,789; г) 0,92; д) 0,6; е) 0,4.

242.Вероятность появления события в каждом из независимых испыта­ний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятно­стью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?

Ответ:100

243.Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найдите вероятность того, что относительная Частота появления события отклонится от его вероятности по модулю не

более чем на 0,01

Ответ:0,979

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8570 — | 7418 — или читать все.

188.64.174.65 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях

Достаточно часто при решении задач требуется найти вероятность того, что некоторое событие произойдет число раз, заключенное в некоторых пределах. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача. Вероятность поражения мишени стрелком при выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 3 раз.

Решение.Найдем вероятности того, что стрелок при четырех выстрелах поразит мишень 0, 1, 2, 3 раза:

;

;

;

.

Вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 3 раз выражается так: .

Искомую вероятность можно было найти по-другому:

.

В том случае, когда число испытаний достаточно велико для нахождения вероятности того, что некоторое событие произойдет число раз, заключенное в некоторых пределах, пользуются интегральной формулой Муавра-Лапласа:

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А в n опытах появится число раз, заключенное в пределах от a до b выражается формулой

, (11.1)

где , , — функция Лапласа.

Формула (11.1) тем точнее, чем больше n.

Замечания:

1. Табличные значения функции Лапласа приводятся в любых учебниках по теории вероятностей.

Задача. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных мальчиков будет от 455 до 555 включительно, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

Решение. В данной задaче a=455, b=555, p=0,515, q=0,485, n=1000.

Согласно интегральной формуле Муавра-Лапласа имеем:

В некоторых задачах придётся находить вероятность того, что число наступления события А будут заключено в границах: левая а меньше, а правая b больше числа np на одно и то же число r, т.е. a = np – r , b = np + r.

(11.2)

В свою очередь из формулы (11.2) можно получить формулу для нахождения — вероятности того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события p в n независимых испытаниях не превзойдет данного положительного числа ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна.

Для этого обе части неравенства умножим на n, получим: .

Таким образом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события p в n независимых испытаниях не превзойдет данного положительного числа ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна выражается формулой

, (11.3)

где .

С помощью формулы (11.3) можно также находить и наименьшее число n испытаний, необходимых для того, чтобы с заданной вероятностью β отклонение частоты события А от вероятности его p по абсолютной величине не превзошла ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании равна p.

Задача. Доля тяжёлых частиц в космическом излучении составляет в среднем 15%. Какое наименьшее число космических частиц должно быть зарегистрировано, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли тяжёлых среди них от вероятности частицы быть тяжёлой не превзошло бы по абсолютной величине 0,04.

Решение. В данной задaче p=0,15, q=0,85, . Необходимо найти n. Имеем уравнение

,

или ,

или .

Решение последнего уравнения является n = 661. Это значит, что n = 661 – наименьшее число космических частиц должно быть зарегистрировано, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли тяжёлых среди них от вероятности частицы быть тяжёлой не превзошло бы по абсолютной величине 0,04, т.е. будет заключено от 0,11 до 0,19.

Контрольные вопросы

1. Каким образом выглядит точная формула для нахождения вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, если в каждом испытании событие А появляется с одинаковой вероятностью.

2. Какими должны быть испытания, чтобы можно было применить формулу Бернулли?

3. Что называют наивероятнейшим числом наступления события в n независимых испытаниях? Как находится это число?

4. Когда целесообразно переходить к приближенным методам вычисления по схеме Бернулли?

5. Как формулируется локальная теорема Муавра-Лапласа?

6. Какой вид имеет формула, выражающая заключение локальной теоремы Муавра-Лапласа?

7. Как формулируется интегральная теорема Муавра-Лапласа?

8. Какой вид имеет формула, выражающая заключение интегральной теоремы Муавра-Лапласа?

9. Сформулируйте свойства функции Лапласа Ф(х).

10. По какой формуле можно вычислить вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности?

11. Какой вид имеет формула, выражающая заключение теоремы Пуассона?

12. При каких условиях можно применять приближение Пуассона для вычислений вероятностей по схеме Бернулли?

Контрольные задания

1. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что два раза выпадет число очков, кратное 3.

2. Игральная кость подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что четная грань выпадет ровно 3 раза.

3. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случае. Какова вероятность того, что из пяти больных поправятся 4?

4. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее выиграть одну партию из двух или две партии из 4?

5. На автоматическом станке можно изготовить 9 стандартных деталей из 10. Определить, чему равна вероятность того, что из 5 наудачу взятых деталей 3 окажутся стандартными?

6. Известно, что стрелок, делая 8 выстрелов, лишь раз попадает в цель. Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного попадания.

7. В автопарке 70 машин, причем каждая из них может поломаться с вероятностью 0,2. Необходимо а) найти наивероятнейшее число исправных машин в автопарке и вероятность того, что в автопарке будет такое число машин; б) вероятность того, что исправными окажется не менее 50 машин; в) с вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля безотказно работающих машин в определенный момент времени.

8. Всхожесть семян гороха составляет в среднем 86%. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян: а) число непроросших будет заключаться между 270 и 300; б) прорастут более 1700 семян.

9. Вероятность невыхода на работу из-за болезни для каждого работника предприятия, насчитывающего 500 человек, равна 0,005. Определить вероятность того, что в ближайший день: а) все работники предприятия выйдут на работу; б) не выйдет на работу хотя бы один из работников предприятия.

10. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается примерно в 99,9% случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеет а) один ребенок; б) хотя бы один ребенок.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 5.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 3.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1999. – Гл. 4.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; Нарушение авторского права страницы

Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях

Достаточно часто при решении задач требуется найти вероятность того, что некоторое событие произойдет число раз, заключенное в некоторых пределах. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача. Вероятность поражения мишени стрелком при выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 3 раз.

Читать еще:  Гепатит b подскажите как интерпретировать результат страница 6

Решение.Найдем вероятности того, что стрелок при четырех выстрелах поразит мишень 0, 1, 2, 3 раза:

;

;

;

.

Вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 3 раз выражается так: .

Искомую вероятность можно было найти по-другому:

.

В том случае, когда число испытаний достаточно велико для нахождения вероятности того, что некоторое событие произойдет число раз, заключенное в некоторых пределах, пользуются интегральной формулой Муавра-Лапласа:

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А в n опытах появится число раз, заключенное в пределах от a до b выражается формулой

, (11.1)

где , , — функция Лапласа.

Формула (11.1) тем точнее, чем больше n.

Замечания:

1. Табличные значения функции Лапласа приводятся в любых учебниках по теории вероятностей.

Задача. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных мальчиков будет от 455 до 555 включительно, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

Решение. В данной задaче a=455, b=555, p=0,515, q=0,485, n=1000.

Согласно интегральной формуле Муавра-Лапласа имеем:

В некоторых задачах придётся находить вероятность того, что число наступления события А будут заключено в границах: левая а меньше, а правая b больше числа np на одно и то же число r, т.е. a = np – r , b = np + r.

(11.2)

В свою очередь из формулы (11.2) можно получить формулу для нахождения — вероятности того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события p в n независимых испытаниях не превзойдет данного положительного числа ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна.

Для этого обе части неравенства умножим на n, получим: .

Таким образом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события p в n независимых испытаниях не превзойдет данного положительного числа ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна выражается формулой

, (11.3)

где .

С помощью формулы (11.3) можно также находить и наименьшее число n испытаний, необходимых для того, чтобы с заданной вероятностью β отклонение частоты события А от вероятности его p по абсолютной величине не превзошла ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании равна p.

Задача. Доля тяжёлых частиц в космическом излучении составляет в среднем 15%. Какое наименьшее число космических частиц должно быть зарегистрировано, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли тяжёлых среди них от вероятности частицы быть тяжёлой не превзошло бы по абсолютной величине 0,04.

Решение. В данной задaче p=0,15, q=0,85, . Необходимо найти n. Имеем уравнение

,

или ,

или .

Решение последнего уравнения является n = 661. Это значит, что n = 661 – наименьшее число космических частиц должно быть зарегистрировано, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли тяжёлых среди них от вероятности частицы быть тяжёлой не превзошло бы по абсолютной величине 0,04, т.е. будет заключено от 0,11 до 0,19.

Контрольные вопросы

1. Каким образом выглядит точная формула для нахождения вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, если в каждом испытании событие А появляется с одинаковой вероятностью.

2. Какими должны быть испытания, чтобы можно было применить формулу Бернулли?

3. Что называют наивероятнейшим числом наступления события в n независимых испытаниях? Как находится это число?

4. Когда целесообразно переходить к приближенным методам вычисления по схеме Бернулли?

5. Как формулируется локальная теорема Муавра-Лапласа?

6. Какой вид имеет формула, выражающая заключение локальной теоремы Муавра-Лапласа?

7. Как формулируется интегральная теорема Муавра-Лапласа?

8. Какой вид имеет формула, выражающая заключение интегральной теоремы Муавра-Лапласа?

9. Сформулируйте свойства функции Лапласа Ф(х).

10. По какой формуле можно вычислить вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности?

11. Какой вид имеет формула, выражающая заключение теоремы Пуассона?

12. При каких условиях можно применять приближение Пуассона для вычислений вероятностей по схеме Бернулли?

Контрольные задания

1. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что два раза выпадет число очков, кратное 3.

2. Игральная кость подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что четная грань выпадет ровно 3 раза.

3. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случае. Какова вероятность того, что из пяти больных поправятся 4?

4. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее выиграть одну партию из двух или две партии из 4?

5. На автоматическом станке можно изготовить 9 стандартных деталей из 10. Определить, чему равна вероятность того, что из 5 наудачу взятых деталей 3 окажутся стандартными?

6. Известно, что стрелок, делая 8 выстрелов, лишь раз попадает в цель. Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного попадания.

7. В автопарке 70 машин, причем каждая из них может поломаться с вероятностью 0,2. Необходимо а) найти наивероятнейшее число исправных машин в автопарке и вероятность того, что в автопарке будет такое число машин; б) вероятность того, что исправными окажется не менее 50 машин; в) с вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля безотказно работающих машин в определенный момент времени.

8. Всхожесть семян гороха составляет в среднем 86%. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян: а) число непроросших будет заключаться между 270 и 300; б) прорастут более 1700 семян.

9. Вероятность невыхода на работу из-за болезни для каждого работника предприятия, насчитывающего 500 человек, равна 0,005. Определить вероятность того, что в ближайший день: а) все работники предприятия выйдут на работу; б) не выйдет на работу хотя бы один из работников предприятия.

10. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается примерно в 99,9% случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеет а) один ребенок; б) хотя бы один ребенок.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 5.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 3.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1999. – Гл. 4.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; Нарушение авторского права страницы

Во всех случаях вероятность выздоровления 99%

2. 12. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разного цвета, если известно, что среди них:
а) есть синий; в) есть зеленый.

3. Игрок А одновременно подбрасывает три игральные кости, а игрок Б в то же время – две кости. Эти испытания они проводят последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятность следующего события:

4. 12. В урне m белых и n черных шаров. Наудачу извлекается шар; он возвращается обратно и, кроме того, в урну добавляется k шаров одного с ним цвета. Чему равна вероятность того, что во второй раз будет извлечен белый шар?Всего сообщений: 8 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 31 мая 2009 19:09 | IP

Neumexa



Участник

прошу подсказать, как решать:

1. Для реализации трех товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально -денежных ресурсов в количестве 520, 140 и 810 ед. При этом для продажи первой группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве 16 ед., ресурса второго вида — в количестве 7 ед, ресурса третьего вида — в количестве 9 ед. Для продажи второй и третьей групп товаров соответственно расходуется 18 и 9 ед. первого ресурса, 7 и 2 ед. второго ресурса, 2 и 3 ед. третьего ресурса. Доход от продажи 3-х групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно 8, 6 и 4 тыс руб. Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового прендприятия был максимальным.

2. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 % случаев. Какова вероятность выздоровления 4-х из пяти человек и не менее 4-х из пяти?

3. Представлены данные о выпуске продукции х ( в у. е.) и расходе топлива у ( в т.) : хi 5 6 8 8 10 10 14 20 20 24; уi 4 4 6 5 7 8 8 10 12 16. Найти выборочные средние дисперсии, построить уравнение линейной регрессии и доверительные интервалы для математических ожиданий при надёжности у = 0.90.

Всего сообщений: 146 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 31 мая 2009 20:32 | IP
RKI



Долгожитель

Цитата: Neumexa написал 31 мая 2009 20:32

1. Для реализации трех товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально -денежных ресурсов в количестве 520, 140 и 810 ед. При этом для продажи первой группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве 16 ед., ресурса второго вида — в количестве 7 ед, ресурса третьего вида — в количестве 9 ед. Для продажи второй и третьей групп товаров соответственно расходуется 18 и 9 ед. первого ресурса, 7 и 2 ед. второго ресурса, 2 и 3 ед. третьего ресурса. Доход от продажи 3-х групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно 8, 6 и 4 тыс руб. Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового прендприятия был максимальным.

Это задача не теории вероятностей, а математического моделирования или, еще называют, линейное программирование


2. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 % случаев. Какова вероятность выздоровления 4-х из пяти человек и не менее 4-х из пяти?

n = 5
p = 0.8
q = 1-p = 0.2

P(m=4) = C(4;5)*((0.8)^4)*(0.2) = 0.4096
P(m>=4) = P(m=4) + P(m=5) = 0.4096 + (0.8)^5 =
= 0.73728


3. Представлены данные о выпуске продукции х ( в у. е.) и расходе топлива у ( в т.) : хi 5 6 8 8 10 10 14 20 20 24; уi 4 4 6 5 7 8 8 10 12 16. Найти выборочные средние дисперсии, построить уравнение линейной регрессии и доверительные интервалы для математических ожиданий при надёжности у = 0.90.

Это задача математической статистики. Надо смотреть формулы.

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 мая 2009 21:25 | IP
Neumexa



Участник

RKI

Это задача не теории вероятностей, а математического моделирования или, еще называют, линейное программирование

а эта как?
Сколько раз нужно подбросить 2 игральные кости с 6-ю гранями,
чтобы вероятность выпадения 2-х шестёрок была больше 0.5 ?

Всего сообщений: 146 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 31 мая 2009 21:31 | IP
RKI



Долгожитель

Цитата: Sashaska написал 31 мая 2009 19:09

4. 12. В урне m белых и n черных шаров. Наудачу извлекается шар; он возвращается обратно и, кроме того, в урну добавляется k шаров одного с ним цвета. Чему равна вероятность того, что во второй раз будет извлечен белый шар?

По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) =
= m(m+k)/(m+n)(m+k+n) + nm/(m+n)(m+k+n) =
= ((m^2) + mk + mn)/(m+n)(m+k+n)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 мая 2009 21:31 | IP
Sashaska



Новичок

помогите. завтра сдавать(((
Всего сообщений: 8 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 31 мая 2009 21:34 | IP
RKI



Долгожитель

2.10.6 Методы оптимизации


а эта как?
Сколько раз нужно подбросить 2 игральные кости с 6-ю гранями,
чтобы вероятность выпадения 2-х шестёрок была больше 0.5 ?

Две шестерки должны быть на двух костях одновременно или в сумме всех подбрасываний выпадало две шестерки?

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 мая 2009 21:35 | IP
Neumexa



Участник

RKI

Две шестерки должны быть на двух костях одновременно или в сумме всех подбрасываний выпадало две шестерки?

сейчас не могу сказать.
p.s. кстати, после «или» не понял вопроса. )))

Всего сообщений: 146 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 31 мая 2009 21:45 | IP
RKI



Долгожитель

Цитата: Sashaska написал 31 мая 2009 19:09

2. 12. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разного цвета, если известно, что среди них:
а) есть синий; в) есть зеленый.

B = <среди 2 шаров есть синий шар>
P(B) = (10*12 + 10*8 + C(2;10))/C(2;30) =
= (120 + 80 + 45)/435 = 245/435 = 49/87

Лечение суставов

Сайт про суставы

Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 случаев

51. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся 4.

52. Считая, что значение диаметра эритроцита 7,30 мкм является математическим ожиданием для нормальной эритроцитометрической кривой Прайс – Джонса и, приняв 0,43 мкм в качестве стандартного отклонения, рассчитайте доверительный интервал, в котором находятся диаметры эритроцитов с вероятностью 0,68.

53. Предположим, что nклеток определённого типа распределены случайным образом по площади предметного стекла, которое разбито квадратной решёткой на 900 () равных участков. Вероятность того, что конкретная клетка лежит в данном участке решётки, есть р =1/900. Процесс размещенияnклеток на предметном стекле можно рассматривать как случайный и соответствующий закону Пуассона. В 75 участках квадратной решётки клеток не обнаружено. Оцените общее число имеющихся клеток.

54. Редкое заболевание встречается у 0,02% населения. Произведена случайная выборка в 20000 человек, которых проверяют на это заболевание. Определите ожидаемое число людей с заболеванием в этой выборке.

55. Редкое заболевание встречается у 0,02% населения. Произведена случайная выборка в 20000 человек, которых проверяют на это заболевание. Определите вероятность того, что заболевание окажется ровно у 4 человек.

56. Редкое заболевание встречается у 0,02% населения. Произведена случайная выборка в 20000 человек, которых проверяют на это заболевание. Определите вероятность того, что заболевание в этой выборке не обнаружится.

57. Примерно один ребёнок из 700 рождается с синдромом Дауна. В одном из крупных родильных домов в год рождается 3500 детей. Определите ожидаемое число новорожденных с синдромом Дауна.

58. Примерно один ребёнок из 700 рождается с синдромом Дауна. В одном из крупных родильных домов в год рождается 3500 детей. Определите вероятность того, что с синдромом Дауна родится более двух детей.

59. Считается, что вакцина формирует иммунитет против полиомиелита в 99,99% случаев. Предположим, что вакцинировалось 10000 человек. Определите ожидаемое число людей, не приобретших иммунитет.

60. Считается, что вакцина формирует иммунитет против полиомиелита в 99,99% случаев. Предположим, что вакцинировалось 10000 человек. Определите вероятность того, что ровно 2 человека не приобрели иммунитет.

61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.

62. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наудачу. Найдите вероятность того, что ему придётся набрать номер не более, чем три раза.

63. Вакцина против инфекционного заболевания вызывает нежелательную реакцию в 0,01% случаев и не формирует иммунитет в 0,02% случаев. Предположите, что эти эффекты независимы. Вакцинации подвергли 10000 человек. Найдите вероятность того, что произошла ровно одна нежелательная реакция и ровно два человека не приобрели иммунитет.

64. Количество жертв автомобильных катастроф, поступающих в больницу скорой помощи в течении 1 часа, является случайной величиной с распределением Пуассона с параметром 3. Найдите вероятность того, что в течение данного часа не поступит ни одного пациента, пострадавшего в автомобильной аварии.

65. Количество жертв автомобильных катастроф, поступающих в больницу скорой помощи в течении 1 часа, является случайной величиной с распределением Пуассона при параметре 3. Найдите вероятность того, что в течение данного часа поступит более трёх пациентов, пострадавших в автомобильных авариях.

66. Поле разбито на 2 500 квадратов равной площади. По полю случайно распределены одуванчики, и установлено, что 275 квадратов их не содержит. Используя формулу Пуассона, получите формулу для числа квадратов, содержащих ровно три одуванчика.

67. Поле разбито на 2 500 квадратов равной площади. По полю случайно распределены одуванчики, и установлено, что 275 квадратов их не содержит. Используя формулу Пуассона, получите формулу для числа квадратов, содержащих по три одуванчика или более.

68. Для выполнения опыта Эллиса и Дельбрюка (1939) имеется 100 пробирок с бактериями кишечной палочки в питательной среде. Из некоторого сосуда в каждую из 100 пробирок добавили по 1 мл взвеси вирусов и по истечении некоторого времени инкубации 38 пробирок из 100 оказались мутными, а остальные – прозрачными. Определите среднее число вирусных частиц в 1 мл исходной взвеси.

69.Если в среднем левши составляют 1%, каковы шансы (вычислите математическую вероятность) на то, что среди 200 человек окажется ровно четверо левшей.

70. Если в среднем левши составляют 1%, каковы шансы (вычислите математическую вероятность) на то, что среди 200 человек найдётся четверо левшей.

71. При равномерном распределении функция плотности распределения вероятностей является постоянной на отрезке . Пользуясь свойствами функции плотности распределения вероятностей, получите её выражение.

72. Для случайной величины равномерно распределённой на отрезке определите математическое ожидание.

73. Для случайной величины равномерно распределённой на отрезке определите дисперсию непосредственно по формуле , следующей из определения дисперсии непрерывной величины.

Ответы, указания, решения.

Тема №1: «Дифференциальное и интегральное исчисления»

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector